Matchens enda mål stod Felix Wall för i andra halvleken.
Eskilstuna City har nu en fin svit med fyra matcher i rad utan att ha släppt in mål.
I och med detta har Eskilstuna City fyra raka segrar.
Grums har en vinst, en oavgjord och tre förluster på de senaste fem matcherna. Det här var Eskilstuna Citys sjätte uddamålsseger.
För Eskilstuna City gör resultatet att man nu ligger på tredje plats i tabellen, medan Grums är på nionde plats.
Eskilstuna City tar sig an Strömtorp i nästa match borta lördag 6 augusti 12.00.